【統計】Pythonでポアソン分布を理解する

2022年7月5日
2023年3月4日
Python, 統計
Python, 統計

統計では以前に紹介した二項分布のほかに、ポアソン分布というのも出てきます。ポアソン分布も二項分布同様確率分布のお話ですが、どのような分布なのかというところを確認していこうと思います。また、分布のイメージを掴むためにもPythonで分布の描画もしていきます。

本記事では、ポアソン分布をどのように求めるかではなく、ポアソンとはどういうもので、どんな時に使うかをざっくり理解できることを目標とします。

二項分布については以下記事をご覧ください。

【統計】Pythonで二項分布を理解する

1 ポアソン分布とは
- 1.1 ポアソン分布を適用できる例
- 1.2 ポアソン分布の性質
2 ポアソン分布を描画する
3 Pythonでデータサイエンスするなら
4 まとめ

ポアソン分布とは

ポアソン分布とは、「単位時間あたりに平均λ回起こる事象がk回起こる確率」を表す離散型確率分布です。確率変数Xがポアソン分布に従う場合、ある期間に平均λ回起こる現象がk回起こる（X=k）確率は、以下の式で求めることができます。

eはネイピア数と呼ばれる定数で、「e=2.71828…」と続く無理数です。

たとえばある事象が平均して10分間に5回起こる場合、10分間である事象が発生する回数はλ=5のポアソン分布モデルから求めることができます。

ポアソン分布を適用できる例

ポアソン分布が適用できる具体的な例をいくつか挙げてみます。

1時間にある交差点を通過する車の台数
1日に受信するメールの数
1時間あたりの店舗への来客数

では実際にポアソン分布を使った計算を1つやってみます、以下の例を考えて、みます。

例)1時間に平均5人来店する中華料理屋で、ある1時間に10人来客する確率を求めてみます。このときλ=5、k=10となります。

となり、その確率は1.8%となります。

ポアソン分布の性質

ポアソン分布はその期待値（平均）、分散がともにλとなる性質があります。

上記の中華料理屋の場合、1時間の来客数の期待値E(X)とその分散V(X)はともに5となります。

ポアソン分布を描画する

ここからはポアソン分布をPythonで描画してみます。ある時間で平均して10回起こる事象（青）、20回起こる事象（オレンジ）、50回起こる事象（緑）について、それぞれのポアソン分布を描画してみます。

Pythonではscipy.statsのpoissonを用いることで、簡単にポアソン分布での確率を計算することができます。

import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

#データの作成
#1~80までの連番
x =  np.arange(1, 80, 1)

#ポアソン分布における確率
y10= [poisson.pmf(i, 10) for i in x]
y20= [poisson.pmf(i, 20) for i in x]
y50= [poisson.pmf(i, 50) for i in x]

#ここからグラフの描画
fig, ax = plt.subplots(facecolor="w")

ax.bar(x,y10,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 10)
ax.bar(x,y20,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 20)
ax.bar(x,y50,alpha=0.5, label="Poisson λ= %d" % 50)

ax.legend()
ax.set_xlabel("k")
ax.set_ylabel("確率", fontfamily='Meiryo')
plt.show()